Формула полной вероятности: основные понятия и примеры

Формула полной вероятности – это универсальный инструмент для вычисления вероятностей событий в условиях наличия нескольких возможных исходов. Эта формула основана на принципе разложения исходного события на непересекающиеся составляющие и нахождении вероятностей каждой из них.

Суть формулы полной вероятности заключается в том, что исходное событие разбивается на несколько взаимоисключающих друг друга случаев, называемых гипотезами. Каждая гипотеза имеет свою вероятность, и сумма вероятностей всех гипотез равна 1.

Применение формулы полной вероятности может проиллюстрировать следующий пример. Представим, что на конференции участникам предлагают выбрать свои бейджики: красные, синие или зеленые. Вероятность выбора красного бейджика составляет 0,3, синего – 0,4 и зеленого – 0,3. Задача заключается в вычислении вероятности того, что случайно выбранный участник будет носить красный бейджик.

Что такое формула полной вероятности

Основная идея формулы полной вероятности состоит в том, что вероятность события может быть выражена через вероятности других событий и условных вероятностей. В частности, если есть несколько взаимоисключающих исходов с разными вероятностями, то вероятность возникновения определенного события можно рассчитать, учитывая вероятности разных исходов и условные вероятности для каждого исхода.

Формула полной вероятности записывается следующим образом:

P(A) = P(A1) * P(B1|A) + P(A2) * P(B2|A) + … + P(An) * P(Bn|A)

где P(A) — вероятность события A, P(A1), P(A2), … P(An) — вероятности различных исходов, а P(B1|A), P(B2|A), … P(Bn|A) — условные вероятности события B при условии, что произошло событие A.

Применение формулы полной вероятности позволяет систематизировать и анализировать вероятности возможных исходов с учетом различных факторов или предположений. Это помогает принимать обоснованные решения и оценивать вероятность различных событий в реальных ситуациях.

Основные понятия

Вероятность – это числовая характеристика события, которая показывает, насколько оно возможно или невозможно. Вероятность события обозначается числом от 0 до 1, где 0 – событие невозможно, а 1 – событие обязательно произойдет.

Полная группа событий – это набор всех возможных событий, которые могут произойти в заданных условиях. Она представляет собой полный исчерпывающий набор событий, в котором каждое событие принадлежит к полной группе событий и исключает возможность появления других событий.

Сочетание этих понятий позволяет использовать формулу полной вероятности, которая позволяет определить вероятность наступления определенного события, используя информацию о полной группе событий и вероятностях каждого из них.

Пример 1: бросок монеты

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу полной вероятности. Сначала определяем все возможные исходы — в данном случае выпадение орла и выпадение решки. Затем вычисляем вероятность каждого исхода, умножая вероятность выпадения орла и решки на соответствующие значения. В данном примере, вероятность выпадения орла равна 0.6, а решки — 0.4.

Исход Вероятность
Орёл 0.6
Решка 0.4

Используя формулу полной вероятности, мы можем вычислить вероятность выпадения орла при одном броске монеты:

Вероятность (Орёл) = Вероятность (Орёл | Орёл) * Вероятность (Орёл) + Вероятность (Орёл | Решка) * Вероятность (Решка) = 1 * 0.6 + 0 * 0.4 = 0.6

Таким образом, вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна 0.6.

Пример 2: выбор шаров из урны

Рассмотрим ситуацию, когда у нас есть урна с шарами разных цветов: 5 красных, 4 синих и 3 зеленых. Нам нужно вычислить вероятность того, что наудачу выбранный шар будет зеленым.

Для решения данной задачи используется формула полной вероятности, которая гласит: P(A) = P(A1) * P(B|A1) + P(A2) * P(B|A2) + … + P(An) * P(B|An), где P(A) — вероятность события A, P(A1), P(A2), …, P(An) — вероятности предшествующих событий A1, A2, …, An, P(B|A1), P(B|A2), …, P(B|An) — вероятности наступления события B при условии наступления события A1, A2, …, An.

Событие A Вероятность P(A) Событие B при условии A Вероятность P(B|A) P(A) * P(B|A)
A1: Выбран красный шар 5/12 B: Выбран зеленый шар 0/5 0
A2: Выбран синий шар 4/12 B: Выбран зеленый шар 0/4 0
A3: Выбран зеленый шар 3/12 B: Выбран зеленый шар 1/3 1/12

Суммируя вероятности событий A1, A2, …, An, умноженные на соответствующие вероятности события B при условии A1, A2, …, An, получаем P(A) = 0 + 0 + 1/12 = 1/12. Таким образом, вероятность выбора зеленого шара из урны равна 1/12.

Пример 3: бросок кубика

Чтобы найти вероятности каждого из событий, мы можем использовать формулу полной вероятности. Сначала мы должны определить вероятности появления каждого результата броска кубика (граней), а затем использовать эти вероятности для вычисления вероятностей событий А и В.

Для нашего примера, вероятности каждого результата броска будут одинаковыми, поскольку кубик является справедливым и имеет равные шансы выпадения каждого числа. Следовательно, вероятность каждого результата равна 1/6. Определив эти вероятности, мы можем вычислить вероятности каждого из событий А и В.

Результат броска Вероятность
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6

Используя формулу полной вероятности, мы можем вычислить вероятность события А (выпадение четного числа) и события В (выпадение числа, кратного 3).

  • Вероятность события А: P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2
  • Вероятность события В: P(B) = P(3) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Таким образом, вероятность выпадения четного числа на кубике равна 1/2, а вероятность выпадения числа, кратного 3, равна 1/3.

PinchProfit