Квазигруппа — это алгебраическая структура, обобщающая основные свойства операций умножения и деления. В отличие от группы, в квазигруппе операция не обязательно ассоциативна. Квазигруппы интересны своей гибкостью и возможностью исследования различных ситуаций, когда ассоциативность отсутствует.
Квазигруппа определяется множеством элементов и операцией, обладающей свойством левой и правой полуассоциативности. Свойство левой полуассоциативности означает, что для любых трех элементов a, b и c выполняется соотношение: (ab)с = a(bc). Свойство правой полуассоциативности аналогично, но меняется порядок элементов: с(ab) = (ca)b.
Квазигруппа может быть представлена таблицей умножения, где каждая ячейка содержит результат операции над соответствующими элементами. Такая таблица позволяет удобно визуализировать и анализировать свойства и взаимодействия элементов квазигруппы. Важно понимать, что не все таблицы умножения являются действительными квазигруппами, так как должны выполняться все необходимые свойства.
Определение и основные понятия квазигруппы
Основные понятия, связанные с квазигруппой, включают понятия закона композиции и моноид. Закон композиции определяет способ комбинирования элементов квазигруппы и обозначается символом «*». Его основные свойства включают ассоциативность (сочетательный закон) и наличие единицы (нейтрального элемента). Моноид — это квазигруппа, в которой выполняются все аксиомы группы, кроме требования наличия обратного элемента.
Квазигруппы возникают в различных областях математики и физики, например, при решении уравнений и систем уравнений, в теории автоматов и формальных языках, в теории категорий и многообразии других объектов. Изучение квазигрупп позволяет расширить возможности математического моделирования и разработать более гибкие алгебраические структуры для решения различных задач.
Примеры квазигрупп
1. Квазигруппа положительных натуральных чисел с операцией сложения
Рассмотрим множество положительных натуральных чисел N и операцию сложения +. В этом случае мы можем найти ассоциативные пары элементов, например (1,2,3), (2,3,5), (3,4,7) и так далее. Однако, поскольку нет нулевого элемента, здесь нет единицы (нейтрального элемента) и обратных элементов, эта структура является примером квазигруппы.
Таблица сложения:
+ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10
2. Квазигруппа строк с операцией конкатенации
Рассмотрим множество всех возможных строк (например, «abc», «def», «ghi») и операцию конкатенации. В этом случае мы можем найти ассоциативные пары элементов, например («abc», «def», «ghi»), («def», «ghi», «klm»), («ghi», «jkl», «nop») и так далее. Однако здесь также нет единицы (нейтрального элемента) и обратных элементов, поэтому эта структура также является примером квазигруппы.
Таблица конкатенации:
| abc def ghi jkl klm nop abc abcabc abcdef abcghi abcjkl abcklm abcnop def abcdef defdef defghi defjkl defklm defnop ghi abcghi defghi ghighi ghijkl ghiklm ghinop jkl abcjkl defjkl ghijkl jkljkl jklklm jklnop klm abcklm defklm ghiklm jklklm klmklm klmnop nop abcnop defnop ghinop jklnop klmnop nopnop
Свойства квазигрупп
Одно из основных свойств квазигруппы — ассоциативность операций. То есть, если даны три элемента a, b и c из квазигруппы, тогда выполнено равенство (ab)c = a(bc). Это свойство позволяет осуществлять операции в любом порядке, не меняя результата.
Квазигруппы также могут быть унитарными. Унитарность означает наличие нейтрального элемента, который не изменяет результат операции при его применении. Если в квазигруппе есть нейтральный элемент, тогда для любого элемента a из квазигруппы выполнено равенство aa = a.
| Свойство | Определение |
|---|---|
| Ассоциативность | Для любых элементов a, b и c выполнено равенство (ab)c = a(bc) |
| Унитарность | Существование нейтрального элемента e, такого что ae = ea = a для любого элемента a |
| Мультипликативный период | Существование k, такого что ak = k для всех элементов a |
| Самоприсоединяемость | Для любых элементов a и b существуют такие элементы c и d, что ac = da = b |
Ассоциативность
Для квазигруппы ассоциативность определяется следующим образом: для любых элементов a, b, c из квазигруппы G выполнено равенство (ab)c = a(bc), где символом * обозначается операция в квазигруппе.
Существование нейтрального элемента в квазигруппе
Нейтральный элемент в квазигруппе определяется как элемент, который, при применении к нему операции квазигруппы с любым другим элементом, не меняет его. Другими словами, нейтральный элемент является таким элементом, что для любого элемента a в квазигруппе выполняется равенство a * e = e * a = a, где * обозначает операцию квазигруппы, а e — нейтральный элемент. Это свойство нейтрального элемента позволяет ему играть роль «единицы» для этой операции.
Существование нейтрального элемента является важным условием для квазигруппы. Если в некоторой алгебраической структуре отсутствует элемент, удовлетворяющий свойству нейтральности, то она не может быть квазигруппой. Нейтральный элемент является одним из основных понятий в теории квазигрупп и позволяет более точно изучать и анализировать их свойства и структуру.
Обратимость элементов в квазигруппе
Обратимость элемента определяется его способностью отменить выполнение операции, то есть существует элемент, умножение на который отменяет результат умножения на данный элемент. Например, в случае умножения элементов, обратный элемент существует тогда и только тогда, когда выполняется закон ассоциативности. Такой элемент называется обратимым в квазигруппе.
Обратимые элементы имеют ряд свойств, которые также применимы к квазигруппам. В частности, произведение обратимого элемента на самого себя всегда равно единичному элементу. Кроме того, композиция обратимого элемента с любым элементом из квазигруппы также дает обратимый элемент.
| Свойство | Формулировка |
|---|---|
| Единичный элемент | Умножение обратимого элемента на нейтральный элемент квазигруппы дает сам обратимый элемент |
| Закон отмены | Если обратимый элемент умножить на другой обратимый элемент, то результат будет единичным элементом |
| Закон ассоциативности | Умножение трех обратимых элементов ассоциативно |
Обратимые элементы являются важной составляющей квазигруппы, так как позволяют выполнять действия обратного отображения и обратной операции. Их свойства требуют соблюдения определенных законов и дают возможность определить уникальные и противоположные элементы в алгебраической структуре.
Квазигруппа и полугруппа
Полугруппа — это алгебраическая структура, состоящая из множества и операции, которая обладает свойством ассоциативности. Другими словами, операция в полугруппе выполняется по определенному закону и не зависит от порядка выполнения операций. Например, множество натуральных чисел с операцией сложения образует полугруппу.
Квазигруппа — это алгебраическая структура, в которой все аксиомы группы выполняются за исключением замкнутости относительно операции. То есть операция в квазигруппе может давать элементы, не принадлежащие множеству, но все остальные свойства группы сохраняются. Это понятие возникло для обобщения группы на некоторые структуры, которые не образуют группу, но все равно имеют некоторые похожие свойства.
Итак, полугруппа — это структура с ассоциативной операцией, а квазигруппа — это аналог группы, но без требования замкнутости операции.
Отличия между квазигруппой и полугруппой
Полугруппа является более общим понятием и определяется как множество с бинарной операцией, которая ассоциативна. То есть, для любых трех элементов a, b, c из полугруппы G, выполнено равенство (a * b) * c = a * (b * c). Кроме того, в полугруппе может быть единичный элемент (нейтральный элемент), который обладает свойством a * e = e * a = a, где e — единичный элемент. Примером полугруппы является множество натуральных чисел с операцией сложения.
Квазигруппа, в свою очередь, является более узким понятием и также определяется как множество с бинарной операцией, которая ассоциативна. Но в отличие от полугруппы, в квазигруппе может отсутствовать единичный элемент. То есть, не для всех элементов k, l, m из квазигруппы G существуют элементы x, y, z такие, что (x * k) * l * m = x * (k * l * m) = y * z. Примером квазигруппы может служить множество целых чисел Z с операцией умножения.